摘要：金融系统中经济主体间往往具有多种关联性，而多层网络理论为其研究提供了一种新的理论方法。针对此，本文首先从多层网络的概念入手，系统梳理了多层网络结构测度指标的作用及数学表达式，并阐述了多层网络主要的构建方法。其次，从金融多层网络的结构及其在系统性金融风险中应用等方面，梳理多层网络在金融领域中的研究现状。最后，提出多层网络未来需要进一步探讨的问题，为相关学者的研究提供借鉴。
关键词：复杂金融系统；多层网络；网络结构；形成机制
引言：自复杂网络中小世界特征与无标度特征的形成机制被解释以来^{［１－２］}，复杂网络理论被更为广泛应用于金融、交通、生物等众多领域^{［３－８］}。传统经典的复杂网络研究主要将复杂系统抽象为单一关联关系的网络^{［９－１４］}。虽然这种处理方式简便且取得了极大成功，但在现实复杂系统中主体之间往往表现出多类型关联关系，并在不同关联关系相互作用下形成彼此依赖、性质各异的各层子网络^［１５］。同时，层与层之间存在相互影响、相互依赖关系^{［１６－１９］}，呈现出多属性、多类型连接的多层网络特征。那么，借助经典复杂网络方法已无法有效解决此复杂系统的多属性关联问题，而多层网络理论在描述和分析多属性关联的复杂系统时更具优势，正被逐步应用于研究金融、交通运输、信息通讯等众多复杂系统^{［２０－２２］}。尤其在美国次贷危机之后，国内外学者对金融机构及其与市场相互作用的复杂系统尤为关注^［２３］，应用多层网络理论研究金融领域问题刚刚起步。综上所述，本文在系统梳理多层网络的概念、结构测度指标、模型构建方法的基础上，着眼于当前多层网络应用于研究金融问题的热点，理清了多层网络在金融领域中应用的研究现状。并在此基础上，提出了后续应用多层网络理论研究金融问题应关注重点问题，这将为多层网络理论更加深入应用于金融领域研究提供借鉴。
一、多层网络的理论基础

如何在网络科学中精确地展现节点和边的异质性是多层网络理论形成的科学原动力^［２４］。相对于传统单层网络而言，多层网络更加复杂。本节主要基于Ｂａｔｔｉｓｔｏｎ等^［２５］和Ｂａｔｔｉｓｔｏｎ等^［２６］等研究，对多层网络的概念、结构测度指标和形成机制进行介绍。
１、多层网络的概念
可用Ｍ＝（Ｇ，Ｃ）表示多层网络，其中Ｇ和Ｃ分别表示单层网络集合和交叉层网络集合^［２７］。
Ｇ＝｛Ｇ_α；α∈｛１，…，Ｍ｝｝是单层网络（有向或无向；加权或非加权）Ｇ_α＝（Ｘ_α，Ｅ_α）（或称为Ｍ的α层网络）的集合。α层网络Ｇ_α刻画的是复杂系统中主体间某一种关联网络，Ｘa＝｛ｘα1，…，ｘαＮα｝表示α层网络Ｎ_α个节点集合，Ｅ_αＸ_α×Ｘ_α为α层网络边的集合。α层网络Ｇ_α的邻接矩阵可表示为Ａ｜α｜＝（αα ｉｊ）∈ＲＮα×Ｎα，其中

ααβｉｊ ＝ { １，（ｘαｉ，ｘβｊ）∈ Ｅαβ

１）节点度。在传统单层网络中节点度表示该节点连接其它节点的数目，但是在多层网络中，节点间关联涉及跨层连接。因此，表示多层网络节点度采用向量形式。在多层网络Ｍ＝（Ｇ，Ｃ）中节点ｉ∈Ｘ的度是向量［２８］：

ｋｉ ＝（ｋ［１］ ｉ ，…，ｋ［Ｍ］ ｉ （３）

２）节点活跃性。实证研究表明在大多数多层网络中并不是所有节点在所有层中均具有连接，如果ｋ［α］ ｉ ＞０则称节点ｉ在α层是活跃的［２９］。进而多层网络中节点ｉ的活跃模式可以通过下面向量ｂｉ表示［３０］：

其中，０≤Ｂｉ≤Ｍ。
３）多层参与系数。在多层网络中会出现这样的情况^［３１］，如节点ｉ在每一层网络中均有ｍ条边，而节点ｊ只在某一层是活跃的且具有ｍＭ条边。显然，节点ｉ与节点ｊ的总的度数是相同的。但是两者在多层网络中作用是有显著差异的，移除节点ｉ将对所有层产生潜在影响，而移除节点ｊ只会直接对其活跃层产生影响。针对此，可以利用节点多层参与系数Ｐ_ｉ刻画节点在各层边的异质性，具体如下［32］：

其中，Ｐｉ∈［０，１］。当且仅当节点ｉ的连接是等可能的分布在Ｍ层时，Ｐｉ＝１；当节点ｉ仅在一层上活跃时，Ｐｉ＝０。

４）聚集系数。传统单层网络中聚集系数是用来描述节点间结集成团的程度的系数，即一个节点的邻接节点间相互连接的程度。Ｃｒｉａｄｏ等［３３］将单层网络的聚集系数推广到多层网络中。在多层网络Ｍ中，节点ｉ的聚集系数的数学表达式为：




其中，Ｎ（ｉ）为投影网络ｐｒｏｊ（Ｍ）中节点ｉ的所有邻接节点集合且Ｎα（ｉ）＝Ｎ（ｉ）∩Ｘα，Ｅα—（ｉ）＝｛（ｋ，ｊ）∈Ｅα；ｋ，ｊ∈Ｎα（ｉ）｝。进而，多层网络Ｍ的聚集系数是所有节点聚集系数ＣＭ（ｉ）的平均值。
（２）边测度指标

其中，０≤ｏｉｊ≤Ｍ。
２）边交叉指数。在多层网络中可以利用边交叉指数（ＩＮＴ）度量存在一对节点被所有单层中的一

　
３）路径长度。在多层网络中包含至少两种类型的边：层内的边和层间的边。因此，这种定义的改变取决于我们是否等价考虑层内的边和层间的边。Ｃｒｉａｄｏ等给出了多层网络路径及其长度定义，具体如下。在多层网络Ｍ＝（Ｇ，Ｃ）中路径ｗ是这样的集合ｗ＝｛（ｌ１，ｌ２，…，ｌｑ），（Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｑ）｝，其中（ｌ１，ｌ２，…，ｌｑ）是Ｍ＝（Ｇ，Ｃ）投影网络中的路径且ｌｊ是单层网络Ｇｊ（ｊ≤ｑ）中边。因此，可以按照下面公式定义路径ｗ的长度：

１）层间度相关性。层间度相关性表示多层网络中不同层上的度之间相关性［３６］。一个量化层间

度相关性的简洁方式是利用一个标准的相关系数来衡量两层度序列相关性，最简单的方法是计算度序

列间皮尔逊相关系数。除此，亦可采用Ｓｐｅａｒｍａｎ秩相关系数［３７］。

２）网络相似性。网络相似性可用于度量多层网络中一个网络替代另一个网络的程度，对其度量采用Ｊａｃｃａｒｄ相似度Ｊ进行［３８］。Ｊａｃｃａｒｄ相似度可以理解为一个网络的边也是另外一个网络的边的概率。
3、多层网络的形成机制
在过去十几年的研究中，学者们对传统单层网络形成机制进行了大量的研究。经典的研究是
Ｗａｔｔｓ和  Ｓｔｒｏｇａｔｚ给出了小世界网络形成机制，
Ｂａｒａｂａｓｉ和Ａｌｂｅｒ解释了无标度网络形成。目前对多层网络形成机制研究主要分为两类：一是，增长的多层网络模型。该类模型中网络节点数目是增加的，存在广义优先连接规则，从简单和基本规则解释了多层网络的演化。二是，多层网络复合模型。该类模型主要基于具有一定数目节点的单层网络，通过满足一定的结构限制得到多层网络的；该类模型能够生成度相关性和重叠完全可控的多层网络。本文主要介绍第一类多层网络模型中的两种，其它的模型具体可见Ｂａｔｔｉｓｔｏｎ和Ｂａｔｔｉｓｔｏｎ等的研究。
（１）度正相关的增长模型
增长的多层网络模型初始时刻ｔ＝０从一个双层网络开始，在每一层网络中具有ｎ_{０个节点和ｍ０}
>ｍ条边。模型的形成过程如下：
增长：在每个时刻ｔ≥１，在每一层网络中增加一个节点和一个复制节点。任一个新增加的复制节点通过ｍ条边与同层的其他节点连接。
广义优先连接：两层中与节点ｉ建立新连接的概率为Πα，其中概率Πα是与在层１中节点ｉ的度ｋ［ｉ１］以及在层２中节点ｉ的度ｋ［ｉ２］成比例的线性组合，即：

其中，ｃ_α，β∈［０，１］且ｃ_１，１＋ｃ_１，２＝ｃ_２，１＋ｃ_２，２＝１。当模型中ｃ_１，１＝ｃ_２，２＝１时，多层网络模型便简化为两个明显不相关的无标度网络。
（２）度负相关的增长模型
Ｎｉｃｏｓｉａ等^［３９］给出了可以生成具有负的度相关性多层网络模型。该模型中包含增长机制和非线性优先连接，其中增长机制与度正相关的模型相同，而广义非线性优先连接为：在层１和层２中与节点ｉ建立新连接的概率分别为Π［ｉ１］和Π［ｉ２］：



其中，ｋ_ｉ和ｑ_ｉ分别是节点ｉ在层１和层２中的度。注意，此处的α和β是取实数的模型参数。
二、多层网络在金融领域中的应用
        在２００７－２００９年全球金融危机之后，对金融系统的网络结构更加重视^［４０］，而关于其多层网络研究主要集中于金融系统多层网络结构分析和基于多层网络的系统性金融风险研究。
       Ｍｕｓｍｅｃｉ等^［４１］根据金融时间序列数据的线性、非线性、尾部、偏关联关系将美国股票市场抽象为四层网络，研究发现一些多层网络独有的特征，而此通过单层网络难以发现。Ｂａｒｇｉｇｌｉ等^［４２］根据意大利银行间交易类型和期限不同构建多层网络模型，研究发现不同的层具有不同的拓扑性质以及随着时间变化的持久性。Ｌｅóｎ等^［４３］根据哥伦比亚主权债券交易和注册环境不同构建主权债券结算多层网络模型，研究发现该多层网络具有稀疏、异质、无标度等特征。Ｌａｎｇｆｉｅｌｄ等^［４４］构建英国银行间市场多层网络模型，研究发现银行间风险暴露网络呈现“核心–外围”结构，而融资网络“核心－外围”结构较弱。Ｍｏｌｉｎａ－Ｂｏｒｂｏａ等^［４５］将墨西哥银行系统抽象为银行间抵押贷款层、新存款与贷款层、证券层、未清存款层以及贷款与衍生产品层五层网络，分析墨西哥银行间的持久性和重叠性关系。
       系统性金融风险受复杂金融系统中各元素之间不同类型关联的交叉组合影响^［４６］。Ｋｏｋ和Ｍｏｎｔａｇｎａ［４７］在短期借贷、长期借贷和共有金融资产敞口三个传染渠道重要性的多层网络中，研究发现欧洲银行间风险更接近于欧洲实际，不同于以往过度低估的结果。利用同样的方法，Ｃａｃｃｉｏｌｉ等［４８］发现银行间直接风险敞口并不会对金融风险产生重大影响，但通过将交易对手风险与重叠的投资组合风险相结合，可能导致更大的金融系统性风险。这说明单层金融网络低估了整个网络的系统性金融风险^［４９］。另外，Ｐｅｒａｌｔａ和Ｃｒｉｓóｓｔｏｍｏ［５０］基于交易有无担保建立双层银行网络，研究了包含直接或间接传染渠道的金融风险传染综合模型，发现金融多层网络下的金融风险传染更为迅速。Ｂｒｕｍｍｉｔｔ和Ｋｏｂａｙａｓｈｉ［５１］研究了按照借贷偿还先后顺序构建多层金融网络，研究发现不同等级的借贷债务能够缩小银行网络密度并促使系统中破产损失的范围被广泛分散，从而使得整个银行系统更趋向稳定的结论。
三、结论
       在现实世界中，复杂系统内部往往相互联系、相互依赖，呈现出多属性、多类型连接的多层网络特征，多层网络理论的出现有助于更好地描述与分析现实复杂系统。目前在经典复杂网络（单层网络）研究基础上，多层网络理论得到较为深入的研究，并被应用于不同领域。金融系统是个典型的复杂系统，由于经济主体间往往具有多种类型关联，使得金融系统具有多层网络特征。针对此，本文系统梳理多层网络理论及其在金融领域中应用。现有研究已取得较为丰富成果，但以下问题仍需深入系统的研究，以便丰富多层网络理论及其应用。
（１）现实复杂系统的结构特征实证研究是网络理论研究主要内容之一，而目前对金融系统中多层结构特征研究尚处于初步阶段。因此，有待对此进行深入研究。特别是挖掘我国金融系统的多层网络结构特征的研究甚少。这有助于了解我国金融系统内部复杂的关联结构，进而有利于维护我国金融系统的稳定。
（２）应加强从动态、内生的视角构建多层网络模型解释现实复杂系统多层网络结构形成的微观机制。虽然已有研究给出多层网络结构构成方法，如多层网络增长模型和多层网络复合模型等。但鲜有从经济主体动态行为出发构建动态、内生的金融多层网络模型。
（３）目前多层网络理论在金融领域中的应用处于起步阶段，主要集中于金融风险传染研究。因此，有待扩展多层网络理论在金融领域中其它方面应用，如基于多层网络的金融市场中舆情传播、系统重要性金融机构识别等。
（４）在当今大数据时代应基于金融大数据结合数据挖掘技术和深度学习等理论方法，深度挖掘金融多层网络信息及其在金融领域的多方面应用。此将有助于推动金融大数据和多层网络理论的交叉互动与融合发展。
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